Poissonovo rozdelenie a neočakávané deti

Kto si z vás pamätá na Taylorov rozvoj alebo Maclaurinov? Našou úlohou nebude venovať sa týmto pojmom, no dnes musím poukázať na ich dôležitosť a to nie len pri Poissonovom rozdelení, ale celkovo pri akýchkoľvek iných problematikách.

Nám bude postačovať fakt, že:

Čo musíme urobiť aby sa daný výraz rovnal 1? Predelíme ho e^λ. Dôvod? Predsa súčet pravdepodobností výskytu všetkých možných náhodných javov musí byť rovný 1. Tým pádom, môžeme pravdepodobnosť veličiny {x} vyjadriť takto:

Pokračujme momentovou vytvárajúcou funkciou, z ktorej odvodíme strednú hodnotu a rozptyl (parciálna derivácia podľa Z a potom dosadenie Z=0):

Použitie rozdelenia

Už samotný názov článku naznačuje, že použijem príklad zo života, príklad ktorý v učebniciach nenájdete.  Predstavme si, že vyrábame prezervatívy. Celkom triviálna vec, čo na tom bude vyrobiť kus poväčšine latexovej čiapočky na jedno použitie. No podstata a náklady nespočívajú v samotnom výrobnom procese, ale taktiež v testovaní a vývoji komfortnejších typov.

Existujú rôzne typy testov bezpečnosti kondómov, no všeobecne sa delia na dve skupiny:

Deštruktívne testy – techniky, ktoré testujú výberové vzorky kondómov až pokiaľ sa nezničia, pritom vyhodnocujú rôzne parametre.

Nedeštruktívny test – kondóm ako izolácia pri elektrickom prúde.

Budeme uvažovať nedeštruktívnu metódu testu a povedzme, že podľa štandardov 99,9% vyrobených kondómov musí úspešne absolvovať túto kontrolu pred tým, než si ich kúpite. Naša prevádzka je zatiaľ malá, s kapacitou 10000 kondómov denne. To znamená, že môžeme denne odhadnúť v priemere 10 zle izolovaných kondómov. Ak ich zaznamenáme viac, musíme výrobu pozastaviť a analyzovať výrobný proces spolu s materiálom individuálne.

Naša výroba eviduje v priemere 7 zlých izolantov (kondómov), To znamená, že naše λ=7. Takto si pomocou Excel-u môžeme zostaviť rozdelenie pomocou pravdepodobnostnej a distribučnej funkcie takto:

=POISSON.DIST(počet očakávaných chýb ; priemerný počet chýb ; 0 – separovaná pravdepodobnosť, 1 – kumulovaná pravdepodobnosť)

Výsledok si samozrejme môžete stiahnuť.





Graficky môžeme toto rozdelenie interpretovať takto:

Rozdelenie síce na obrázku vyzerá symetricky, obecne tento fakt neplatí pre každé λ. Avšak platí, že čím je λ väčšie, tým je rozdelenie menej šikmé, teda symetrickejšie.

Pokúsme sa sa vrátiť k testu kondómov a analyzujme, s akou pravdepodobnosťou budeme musieť prerušiť výrobu a vykonávať hĺbkovú kontrolu?

Odpoveď:

Hodnoty z nášho testu nesmú byť väčšie ako 10! Pozrime sa na kumulovanú pravdepodobnosť pre hodnotu 10. Potom túto hodnotu odčítame od 1 a máme výsledok:Je vidieť, že s pravdepodobnosťou 0,09852 môžeme celkom predpovedať, že naša denná produkcia kondómov nemusí byť dostatočne bezpečná.

Poučenie:

Nejde o to s kým, kde a za akých okolností, ale o to že aj za tak triviálnou antikoncepciou akou sú kondómy stojí fakt, že tie testy nezaručujú 100% bezpečnosť produktu. Takto som sa snažil priblížiť, že aj tak na prvý pohľad  triviálne rozdelenie môže (a ono aj v praxi skutočne má) veľké využitie a existencia firiem v mnohých prípadoch visí na viac-menej na podobnom štatistickom vlásku. Avšak nechcem tým garantovať, že presne takto sa vyhodnocuje kvalita prezervatívov , no hypoteticky to môže byť podobné – povedzme o niečo zložitejšie! Takže prosím nezľaknite sa a ak sa vám “stane nehoda”, tak pamätajte že nič nie je dokonalé.

Budúcim článkom by sme mali prejsť k spojitým rozdeleniam, takže máte sa na čo tešiť.