Logaritmicko-normálne rozdelenie (modelovanie)

 

V predchádzajúcom článku sme si zobrali pod lupu akcie automobilky Ford Motor Company a ukázali, že ich zlogaritmované koeficienty rastu sú približne normálne rozdelené. Tento poznatok je kľúčový v štatistike aplikovanej vo financiách aj keď v praxi sa skoro každý stretne s problematikou tzv. fat tails a špicatejšieho pravdepodobnostného kopčeka.

My sa pre dnešok budeme zaoberať modelovaním log-normálneho rozdelenia na základe charakteristík, vývoja kurzu akcií Ford Motor Company (viď predchádzajúci článok).

Ponechajme si dáta zo sample file-u v minulom článku a pokúsme sa odhadnúť strednú hodnotu a rozptyl log-normálneho rozdelenia.

 

Pre strednú hodnotu sme použili, populárnu funkciu =average()  a smerodajné odchýlky zase =STDEV.S().

Hodnoty v modrom riadku sú vypočítané charakteristiky normálneho rozdelenia, pri znalosti µ a δ² z log-normálneho (skoro zhodné s  charakteristikami relatívneho prírastku).

V tomto prípade to znamená, že my môžeme budúce ceny modelovať normálnym alebo log-normálnym rozdelením!

Prečo potom log-normálne rozdelenie má svoje opodstatnenie???

Vo financiách sa každý stretol so spôsobmi úročenia. Jednoduché, zložené, zmiešané apod. no v konečnom dôsledku sa pri väčšine výpočtoch a oceňovaní derivátov používa spojité úročenie.

Čo sa týka limitného vzťahu, nebudem ho rozoberať (Google it! ), spomeniem však základný vzorec, z ktorého vyplýva opodstatnenie prirodzeného logaritmu v spojení s úrokom – koeficientom rastu pri cenách akcií.

 

Kde čas t je relatívne vyjadrené časové obdobie vzhľadom k určenej úrokovej (rastovej) miere r.  Ak je spojitá miera r vyjadrená na ročnej báze, bude potom jeden rok vyjadrený číslom 1, pol roka 0,5 atď.. A keďže každá úroková miera sa môže transformovať na spojitú, takto si pri rôznych úlohách zjednodušíme počty použitím spojitého úročenia.

Vráťme sa však k akciám a uvažujme dve dôležité vlastnosti:

1) Nulová autokorelácia

2) Stacionarita časovej rady

Potom môžeme na základe modelovania rastových koeficientov (ich logaritmov) určiť budúce ceny akcie takto:

Červená a žltá časová rada je predikcia vývoja cien akcie za stanovených podmienok, teda zjednodušený model, ktorý vyzerá nasledovne:

=$K$2*LOGNORM.INV(RAND();$K$3;$K$4)

 

=S_i*LOGNORM.INV(RAND();S_log-priemer;δ_log-výnosu)

alebo cez normálne rozdelenie:

=B252*NORM.INV(RAND();$M$4;$N$4)

 

=S_i*NORM.INV(RAND();S_priemer;δ_výnosu)

Takto nagenerujeme hodnoty ceny akcie pre S_i+1, ; S_i+2, ; S_i+3, …. atď. V porovnaní s realitou je to zjednodušená verzia, lebo všeobecne časové rady zápasia s mnoho problémami ako sú heteroskedasticita, autokorelácia, nestacionarita. Preto v praxi sa používajú trocha odlišné modely, ktoré sú napríklad sezónne očistené, dynamizujúce apod..

Teraz sa pokúsim priblížiť pohľad na vec prostredníctvom rozptylu, ktorý sa bude zväčšovať takto:

Máme k dispozícii poslednú cenu akcie, priemernú hodnotu zlogaritmovaného výnosu a taktiež log-smerodajnú odchýlku. Na základe týchto parametrov sme urobili model pre danú akciu a potom, následnou zmenou smerodajných odchyliek vytvorili ukážky modelov PR1 až PR7.

Ak sa vrátim k skutočnosti a modelu, je vidieť značný rozdiel v špicatosti modelu a zároveň, že model dostatočne nedemonštruje výskyt relatívne hrubých koncov rozdelenia. Čo sa týka ostatných vlastností rozdelenia, za zmienku stojí šikmosť, ktorá sa zmenou smerodajnej odchýlky mení.

Čím je menšia, tým rozdelenie sa blíži k symetrickému, no ak hodnota smerodajnej odchýlky prevýši hodnotu 1, rozdelenie sa zošikmí doľava.

Tento prípad zobrazuje nasledujúci obrázok, v ktorom model PR7 má v porovnaní so vstupnou tabuľkou pozmenenú smerodajnú odchýlku rovnú 2.

Tento typ grafu som uprednostnil pred klasickým stĺpcovým kvôli prehľadnosti jednotlivých modelov log-normálneho rozdelenia. Je evidentné, že s väčším rozptylom sa kopček spľaskne do viacerých cenových kategórií, tým pádom akcia má väčšiu tendenciu rapídne meniť cenu.

Nabudúce nás čaká ešte jedno, možno dve rozdelenia a potom dvere k iným zaujímavostiam, pre zmenu z fundamentálnej analýzy akcií.